在高考数学中，排列组合是一个重要的知识点，通常出现在概率与统计或计数原理部分。它主要考察学生对基本计数原理（加法原理、乘法原理）、排列、组合的理解和应用能力。

一、高考中排列组合的常见题型

1. 直接计算问题

这类题目要求学生根据题意，直接使用排列或组合公式进行计算。

示例：

从5个不同的球中任取3个，有多少种不同的取法？

答案：$ C_5^3 = 10 $

用数字1,2,3,4组成没有重复数字的三位数，有多少种可能？

答案：$ A_4^3 = 24 $

2. 实际应用问题

这类题目通常结合生活、生产、考试等情境，要求学生理解题意后选择合适的计数方法。

示例：

某班级有10名男生和8名女生，从中选出3人组成班委，其中至少有1名女生，问有多少种选法？

解法：总选法 $ C_{18}^3 $ 减去全是男生的选法 $ C_{10}^3 $

答案：$ C_{18}^3 C_{10}^3 = 816 120 = 696 $

3. 分类讨论问题

这类题目需要将问题分成若干类来分别计算，再相加。

示例：

用0,1,2,3,4这五个数字能组成多少个无重复数字的三位数？

第一步：百位不能为0 → 有4种选择

第二步：十位和个位从剩下的4个数字中选 → $ A_4^2 = 12 $

总数：$ 4 times 12 = 48 $

4. 排列组合与概率结合的问题

这类题目常出现在概率部分，比如：

抽奖问题、比赛分组、抽签问题等。

示例：

有5个人排队，甲和乙必须相邻，有多少种排法？

将甲乙看作一个整体，共有 $ 4! times 2 = 48 $ 种排法。

二、常见的公式

三、高考中排列组合的常见考点

四、解题技巧

1. 明确题意：是否要考虑顺序？是否有特殊限制？

2. 分类讨论：遇到复杂情况时，分情况讨论。

3. 使用插空法/捆绑法：处理“不相邻”、“必须在一起”等问题。

4. 逆向思维：当正面计算困难时，考虑反面（如“至少有一个”可转化为“全部都不是”）。

五、真题示例（2022年全国卷）

> 有5个不同的球，放入3个不同的盒子中，每个盒子至少有一个球，问有多少种放法？

解析：

首先，把5个球分成3组（非空），然后分配到3个盒子中。

分组方式有三种：

3,1,1

2,2,1

对于3,1,1：

选3个球：$ C_5^3 = 10 $

剩下的两个球各放一个盒子里：$ frac{3!}{2!} = 3 $

总数：$ 10 times 3 = 30 $

对于2,2,1：

选2个球：$ C_5^2 = 10 $

剩下3个中选2个：$ C_3^2 = 3 $

但要注意重复：除以2！

总数：$ frac{10 times 3}{2} = 15 $

分配到3个盒子：$ 3! = 6 $

总数：$ 15 times 6 = 90 $

总放法：$ 30 + 90 = 120 $

六、

在高考中，排列组合虽然不算最难的部分，但容易因审题不清或计算错误而失分。建议多做练习题，掌握各种题型的解题思路和技巧。